Вычислить интеграл x²·sin(x) по x от 0 до π.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбор $u$ для понижения степени многочлена. При произведении многочлена на тригонометрическую функцию всегда удобно брать $u$ равным многочлену: при дифференцировании его степень понижается, а $\sin x$ при интегрировании превращается в $-\cos x$, не увеличивая степень. Подставим:

   $u=x^{2},\quad dv=\sin x\,dx\ \Longrightarrow\ du=2x\,dx,\quad v=-\cos x$

   Если бы выбрали наоборот, степень бы только росла, и процесс не завершился бы.

2. 2

   Первое применение метода интегрирования по частям.

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx$

   В оставшемся интеграле степень по $x$ стала $1$ вместо $2$, значит, ещё один проход завершит задачу.

3. 3

   Второе применение по частям к $\int x\cos x\,dx$. Теперь $u=x$, $dv=\cos x\,dx$, тогда $du=dx$, $v=\sin x$:

   $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x$

   Следовательно, $\int 2x\cos x\,dx=2x\sin x+2\cos x$.

4. 4

   Записываем полный первообразный.

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

   (Для многочлена второй степени понадобилось ровно два применения; для степени $n$ — $n$ раз.)

5. 5

   Подстановка пределов интегрирования. При $x=\pi$, учитывая $\cos\pi=-1$ и $\sin\pi=0$:

   $-\pi^{2}(-1)+0+2(-1)=\pi^{2}-2$

   При $x=0$, учитывая $\cos 0=1$ и $\sin 0=0$:

   $0+0+2=2$

6. 6

   Вычитаем и проверяем результат.

   $\int_{0}^{\pi}x^{2}\sin x\,dx=\left(\pi^{2}-2\right)-2=\pi^{2}-4\approx 5.8696$

   Численное приближение по Симпсону даёт $5.8696044011$, что совпадает с $\pi^{2}-4=5.8696044011$ ✓. Ответ положителен, как и должно быть: $\sin x\ge 0$ на всём $[0,\pi]$.