Найти предел (tan x − sin x) / x² при x, стремящемся к 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Нельзя просто заменить $\tan x$ и $\sin x$ на $x$ по отдельности. Обе функции эквивалентны $x$ при $x\to 0$, поэтому такой приём даёт числитель $x-x=0$ и ответ $0$ — «по неверной причине». Эквивалентные бесконечно малые можно подставлять только в произведениях и частных, но не в разности, где главные члены сокращаются. Сначала нужно выяснить реальный порядок малости числителя.

2. 2

   Вынесем $\sin x$ за скобку в числителе. Запишем $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$:

   $\tan x-\sin x=\sin x\left(\frac{1}{\cos x}-1\right)=\sin x\cdot\frac{1-\cos x}{\cos x}$

   Такое преобразование заменяет опасную разность на произведение трёх хорошо изученных множителей.

3. 3

   Разобьём дробь на стандартные пределы. Делим на $x^2=x\cdot x$ и группируем каждый множитель с одним $x$:

   $\frac{\tan x-\sin x}{x^2}=\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1-\cos x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}$

   Теперь каждый множитель — это классический предел, и правило произведения для пределов применимо, так как все три стремятся к конечным значениям.

4. 4

   Вычислим значения трёх множителей.

   $\frac{\sin x}{x}\to 1,\qquad \frac{1-\cos x}{x}\to 0,\qquad \frac{1}{\cos x}\to 1$

   Решающим оказывается второй множитель: $1-\cos x\approx\tfrac{x^2}{2}$, поэтому при делении только на $x$ результат всё равно стремится к нулю.

5. 5

   Перемножим пределы.

   $1\cdot 0\cdot 1=0$

6. 6

   Проверим результат с помощью разложения в ряд Тейлора. Из $\tan x=x+\tfrac{x^3}{3}+O(x^5)$ и $\sin x=x-\tfrac{x^3}{6}+O(x^5)$ получаем разность $\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{x^3}{6}=\tfrac{x^3}{2}$. Деление на $x^2$ даёт $\tfrac{x}{2}$. Численно: при $x=0{,}1$ значение дроби $0{,}0501$, при $x=0{,}01$ — $0{,}0050$, то есть уменьшается в 10 раз, как и $x/2$.