Решите дифференциальное уравнение y'' + 2y' + y = e^(−x).

Step-by-step solution

1. 1

   Найдём корни характеристического уравнения. Для $y'' + 2y' + y = 0$ характеристическое уравнение имеет вид

   $r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0$

   и его корень $r = -1$ оказывается кратным. Двукратный корень даёт сразу и $e^{-x}$, и $xe^{-x}$, поэтому

   $y_h = (C_1 + C_2x)e^{-x}$

2. 2

   Определим, насколько глубок резонанс. Правая часть $e^{-x}$ совпадает с корнем $-1$, а кратность этого корня равна $2$. Правило таково: пробное решение умножается на $x^{m}$, где $m$ — кратность. Здесь $m = 2$, поэтому и $Ae^{-x}$, и $Axe^{-x}$ при подстановке обратятся в нуль — уцелеть может только $y_p = Ax^2e^{-x}$.

3. 3

   Дважды продифференцируем пробное решение.

   $y_p' = A e^{-x}\left(2x - x^2\right), \qquad y_p'' = A e^{-x}\left(x^2 - 4x + 2\right)$

4. 4

   Подставим и найдём A.

   $y_p'' + 2y_p' + y_p = Ae^{-x}\left[(x^2 - 4x + 2) + (4x - 2x^2) + x^2\right] = 2Ae^{-x}$

   Слагаемые с $x^2$ взаимно уничтожаются ($1 - 2 + 1 = 0$), с $x$ — тоже ($-4 + 4 = 0$), и остаётся лишь постоянная $2$. Из $2Ae^{-x} = e^{-x}$ получаем $A = \tfrac12$.

5. 5

   Запишем и проверим общее решение.

   $y = e^{-x}\left(C_1 + C_2x + \tfrac{1}{2}x^2\right)$

   Проверка с $y_p = \tfrac12x^2e^{-x}$: $y_p' = \left(x - \tfrac{x^2}{2}\right)e^{-x}$ и $y_p'' = \left(1 - 2x + \tfrac{x^2}{2}\right)e^{-x}$, поэтому левая часть равна $e^{-x}\left[\left(1 - 2x + \tfrac{x^2}{2}\right) + \left(2x - x^2\right) + \tfrac{x^2}{2}\right] = e^{-x}$. Всё верно.