Найти ряд Маклорена для sin(x) до и включая слагаемое степени 7.

Step-by-step solution

1. 1

   Построим цикл производных при $x=0$. Производные синуса повторяются с периодом четыре, поэтому коэффициенты следуют четырёхшаговой последовательности:

   $\sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad -\sin 0=0,\quad -\cos 0=-1,\quad \text{далее повторяется}$

   Таким образом, $f^{(n)}(0)$ циклично принимает значения $0, 1, 0, -1$.

2. 2

   Подставим эти значения в формулу Маклорена. Для $f(x)=\sum_{n\ge 0}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ все чётные производные обращаются в ноль, и остаются только нечётные степени:

   $\sin x=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$

   Отсутствие чётных степеней не случайно — $\sin(-x)=-\sin x$, то есть функция нечётная, а значит, в ряде только нечётные степени.

3. 3

   Вычислим факториалы.

   $3!=6,\qquad 5!=120,\qquad 7!=5040$

   $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}+O\!\left(x^9\right)$

4. 4

   Запишем общий член ряда. В общем виде:

   $\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$

   Ряд сходится при любом действительном $x$ — радиус сходимости бесконечен, так как $(2k+1)!$ растёт быстрее любой фиксированной степени.

5. 5

   Оценим точность. При $x=1$ рад (радиан) частичная сумма даёт

   $1-\frac16+\frac{1}{120}-\frac{1}{5040}=0.8414682\ldots$

   Для сравнения, $\sin 1=0.8414710$, ошибка составляет примерно $2.7\times 10^{-6}$ — что соответствует следующему отброшенному члену $\tfrac{x^9}{9!}=\tfrac{1}{362880}\approx 2.76\times 10^{-6}$. Оценка по признаку чередующегося ряда гарантирует, что ошибка не превышает первого отброшенного слагаемого.