Найдите dy/dx для функции y = x² / tg x.

Step-by-step solution

1. 1

   Выделим части для правила частного. Запишем $y=\frac{u}{v}$, где $u=x^2$ и $v=\tan x$. Правило частного гласит $y'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$; порядок двух произведений принципиален, поэтому $u'v$ должно стоять первым.

2. 2

   Продифференцируем числитель. По правилу степени $u'=2x$.

3. 3

   Продифференцируем знаменатель. Стандартная производная тангенса равна $v'=\sec^2 x$, и она сама выводится из $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ одним применением правила частного.

4. 4

   Соберём формулу. После подстановки получаем $\frac{dy}{dx}=\frac{2x\tan x-x^2\sec^2 x}{\tan^2 x}$.

5. 5

   Упростим через синус и косинус. Подставив $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ и $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ и избавившись от многоэтажной дроби, приводим результат к виду $\frac{2x\sin x\cos x-x^2}{\sin^2 x}$, который удобнее считать численно.

6. 6

   Отметим область определения. Формула верна там, где $\tan x$ определён и отличен от нуля, то есть при $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$ и $x\neq k\pi$.