Найдите сумму бесконечного ряда с общим членом 1/(n(n + 2)), суммируя от n = 1 до бесконечности.

Step-by-step solution

1. 1

   Раскладываем общий член на простейшие дроби. Из $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}$ получаем $1=A(n+2)+Bn$, откуда $A=\frac12$ и $B=-\frac12$, то есть $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$.

2. 2

   Замечаем сдвиг на два. В отличие от телескопирования соседних слагаемых, здесь каждая отрицательная часть сокращается с положительной, стоящей через одну. Значит, спереди остаются два слагаемых и сзади тоже два, а не по одному.

3. 3

   Записываем частичную сумму. $S_N=\frac{1}{2}\left[\left(1+\frac12\right)-\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}\right)\right]$, поскольку спереди никогда не сокращаются только $\frac11,\frac12$, а сзади — только $\frac{1}{N+1},\frac{1}{N+2}$.

4. 4

   Переходим к пределу. При $N\to\infty$ две хвостовые дроби обращаются в нуль, и остаётся $S=\frac{1}{2}\left(1+\frac12\right)$.

5. 5

   Упрощаем. $\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$.

6. 6

   Численная проверка. Сумма первых $2\times10^{6}$ слагаемых равна $0.7499995$, что совпадает с $\frac34$ до шести знаков после запятой.