Вычислить интеграл 1 / x^{2/3} от x = -1 до x = 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Замечаем внутреннюю особенность. Подынтегральная функция $x^{-2/3}$ не определена при $x=0$, а эта точка лежит внутри промежутка интегрирования. Применять основную теорему анализа напрямую нельзя — необходимо рассматривать интеграл как несобственный и разбить его в точке $0$:

   $\int_{-1}^{1}x^{-2/3}dx=\int_{-1}^{0}x^{-2/3}dx+\int_{0}^{1}x^{-2/3}dx$

2. 2

   Находим первообразную. По формуле для степенного интеграла при $p=-\tfrac23$, тогда $p+1=\tfrac13$:

   $\int x^{-2/3}dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}$

   Действительный корень третьей степени $x^{1/3}$ определён и для отрицательных $x$, поэтому эта формула подходит для обеих частей.

3. 3

   Вычисляем левую часть как предел.

   $\lim_{a\to 0^{-}}\left[3x^{1/3}\right]_{-1}^{a}=\lim_{a\to 0^{-}}\left(3a^{1/3}-3(-1)^{1/3}\right)=0+3=3$

   Здесь $(-1)^{1/3}=-1$. Предел конечен, так как $x^{1/3}\to 0$, а не $\infty$: первообразная остаётся непрерывной даже там, где подынтегральная функция не определена.

4. 4

   Аналогично вычисляем правую часть.

   $\lim_{b\to 0^{+}}\left[3x^{1/3}\right]_{b}^{1}=\lim_{b\to 0^{+}}\left(3-3b^{1/3}\right)=3$

5. 5

   Складываем две сходящиеся части.

   $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^{2/3}}dx=3+3=6$

   Интеграл сходится, несмотря на неограниченность подынтегральной функции — «шпилька» в нуле слишком узкая, чтобы заключать в себе бесконечную площадь.

6. 6

   Сравниваем с общим правилом. В окрестности нуля $\int_{0}^{1}x^{-p}dx$ сходится тогда и только тогда, когда $p<1$. Здесь $p=\tfrac63<1$, значит, сходимость была ожидаема; если бы показатель был $x^{-4/3}$ ($p=\tfrac43>1$), обе части расходились бы. Симметрия подынтегральной также объясняет, почему обе части дают одинаковое значение $3$.