Вычислить двойной интеграл по квадрату от −R до R по x и y от x, делённого на корень из (R² + y²)·(R² − x²).

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим подынтегральную функцию на часть по x и часть по y. Корень в знаменателе раскладывается на множители, поэтому $\frac{x}{\sqrt{(R^2+y^2)(R^2-x^2)}} = \frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{R^2+y^2}}.$ Переменные не смешиваются между собой.

2. 2

   Используем разделимость для разложения двойного интеграла в произведение. На прямоугольнике $[-R,R]\times[-R,R]$ имеем $I = \left(\int_{-R}^{R}\frac{x\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)\left(\int_{-R}^{R}\frac{dy}{\sqrt{R^2+y^2}}\right).$ Если хотя бы один из множителей равен нулю, весь интеграл равен нулю — поэтому сначала рассмотрим более простой множитель.

3. 3

   Проверим, что интеграл по x является несобственным и сходится. Подынтегральная функция стремится к бесконечности при $x\to\pm R$, поэтому необходимо убедиться в сходимости до применения свойства нечётности. На $[0,R]$: $\int_0^{R}\frac{x\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}} = \left[-\sqrt{R^2-x^2}\right]_0^{R} = 0+R = R,$ конечное значение. Аналогично, на симметричном участке интеграл сходится к $-R$.

4. 4

   Применим нечётность функции. $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}$ удовлетворяет $f(-x)=-f(x)$, а отрезок $[-R,R]$ симметричен относительно нуля. Поскольку обе части сходятся абсолютно, $\int_{-R}^{R}f(x)\,dx = -R+R = 0.$

5. 5

   Делаем вывод, учитывая, что второй множитель конечен. $\displaystyle\int_{-R}^{R}\frac{dy}{\sqrt{R^2+y^2}} = 2\operatorname{arsinh}(1) = 2\ln\!\left(1+\sqrt2\right)$ — положительное конечное число. Конечное число, умноженное на ноль, даёт ноль: $I = 0.$

6. 6

   Поясним, почему важно было проверить сходимость. Если бы интеграл по $x$ расходился (например, для $\tfrac{x}{R^2-x^2}$), обе половины давали бы $+\infty$ и $-\infty$, и «нечётная функция на симметричном промежутке» не позволяла бы утверждать, что интеграл равен нулю — он просто не существовал бы.