Вычислить предел (x − 9)/(√x − 3) при x стремящемся к 9.

Step-by-step solution

1. 1

   Проверим вид выражения. При $x=9$ числитель равен $0$, а знаменатель — $3-3=0$, то есть получаем неопределённость $\frac{0}{0}$.

2. 2

   Рассмотрим $x$ как квадрат. Для $x>0$ имеем $x=\left(\sqrt{x}\right)^2$, значит, $x-9=\left(\sqrt{x}\right)^2-3^2$, что является разностью квадратов по переменной $\sqrt{x}$.

3. 3

   Разложим числитель на множители. $x-9=\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)$. Первый множитель совпадает со знаменателем, поэтому умножать на сопряжённое не требуется.

4. 4

   Сократим дробь. При $x\neq 9$ выражение сводится к $\sqrt{x}+3$ — это функция, непрерывная при $x\ge 0$.

5. 5

   Подставим значение. $\sqrt{9}+3=3+3=6$.

6. 6

   Заметим упрощение. Умножение на сопряжённое $\sqrt{x}+3$ привело бы к тому же результату; распознавание разности квадратов позволяет сразу перейти к ответу.