Вычислить повторный интеграл (y − x) dx от x = √(1 − y²) + 1 до x = y, затем dy от y = 0 до 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Выполним внутренний интеграл по $x$, считая $y$ постоянным. Первообразная для $y-x$ по $x$ равна

   $yx-\frac{x^2}{2}$

   Следует заметить, что нижний предел $\sqrt{1-y^2}+1$ на $[0,1]$ не меньше $1$, а верхний предел $y$ не больше $1$, то есть пределы идут «в обратную сторону». Это допустимо: формула Ньютона—Лейбница по-прежнему применима, просто появляется знак минус, который сохраняется (пределы не меняются местами).

2. 2

   Подставим оба предела. При $x=y$ получаем: $y^2-\tfrac{y^2}{2}=\tfrac{y^2}{2}$. При $x=\sqrt{1-y^2}+1$ раскроем квадрат:

   $\left(\sqrt{1-y^2}+1\right)^2=(1-y^2)+2\sqrt{1-y^2}+1=2-y^2+2\sqrt{1-y^2}$

   Значение на нижнем пределе: $y\sqrt{1-y^2}+y-1+\tfrac{y^2}{2}-\sqrt{1-y^2}$.

3. 3

   Вычтем и увидим, что слагаемые с $y^2/2$ сокращаются. Внутренний интеграл сводится к

   $1-y+\sqrt{1-y^2}-y\sqrt{1-y^2}$

   Именно это и есть суть задачи: выражение с радикалом упростилось до четырёх элементарных слагаемых.

4. 4

   Проинтегрируем каждое слагаемое по $y\in[0,1]$:

   $\int_0^1(1-y)\,dy=\frac12$

   $\int_0^1\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac{\pi}{4}\quad\text{(площадь четверти единичного круга)}$

   $\int_0^1 y\sqrt{1-y^2}\,dy=\frac13\quad\text{(подстановка }u=1-y^2\text{)}$

5. 5

   Сложим результаты и проверим численно:

   $\frac12+\frac{\pi}{4}-\frac13=\frac{\pi}{4}+\frac16$

   Численно $\pi/4+1/6=0.9520648300641$. Проверка по сетке из 2 000 000 точек по $y$ даёт $0.9520648300642$ — совпадение до двенадцатого знака ✓.