Доказать, что f(x) = сумма от n = 2 до ∞ sin(nx)/(n ln n) непрерывна при x = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Переход к пределу и обсуждение стандартных методов. Каждый член ряда обращается в ноль при $x=0$, поэтому $f(0)=0$, а непрерывность означает $f(x)\to0$ при $x\to0$. Признак Вейерштрасса здесь не работает: $\sum 1/(n\ln n)$ расходится. Признак Дирихле даёт равномерную сходимость только на $[\delta,2\pi-\delta]$, то есть в стороне от интересующей точки. Поэтому сумму приходится разбивать вручную. Так как $f$ нечётная, достаточно рассмотреть $0<x<\tfrac12$.

2. 2

   Выбор точки разбиения. Обозначим $N=\lfloor 1/x\rfloor$, тогда $N\le 1/x<N+1$ и $N\to\infty$ при $x\to0^{+}$. Представим

   $f(x)=\underbrace{\sum_{n=2}^{N}\frac{\sin nx}{n\ln n}}_{S_1}+\underbrace{\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n\ln n}}_{S_2}.$

   Для $n\le N$ угол $nx\le 1$ мал, поэтому $\sin nx$ можно грубо оценить; для $n>N$ синус осциллирует, и нужно использовать взаимное сокращение. Таким образом, применяются разные оценки для двух частей.

3. 3

   Оценка первой части $S_1$ с помощью $|\sin nx|\le nx$.

   $|S_1|\le\sum_{n=2}^{N}\frac{nx}{n\ln n}=x\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{\ln n}.$

   Разобьём сумму по $\sqrt N$: ниже этой точки используем $1/\ln n\le 1/\ln 2$, выше — $1/\ln n\le 2/\ln N$. Получаем

   $x\sum_{n=2}^{N}\frac1{\ln n}\le \frac{x\sqrt N}{\ln 2}+\frac{2xN}{\ln N}\le\frac{1}{\sqrt N\,\ln 2}+\frac{2}{\ln N},$

   используя $xN\le 1$ и $x\sqrt N\le 1/\sqrt N$. Обе части стремятся к нулю. Простая оценка $1/\ln n\le1/\ln 2$ дала бы только $O(1)$, поэтому разбиение по $\sqrt N$ существенно.

4. 4

   Оценка хвоста $S_2$ по формуле Абеля. Оценка ядра Дирихле даёт, для $0<x\le\pi$ и любых $q>p$,

   $\left|\sum_{n=p}^{q}\sin nx\right|\le\frac{1}{\sin(x/2)}\le\frac{\pi}{x},$

   так как $\sin(x/2)\ge x/\pi$ на $(0,\pi]$. Поскольку $a_n=1/(n\ln n)$ убывает к нулю, по неравенству Абеля получаем

   $|S_2|\le a_{N+1}\cdot\frac{2\pi}{x}=\frac{2\pi}{x\,(N+1)\ln (N+1)}.$

5. 5

   Завершение оценки хвоста. Так как $N+1>1/x$, имеем $x(N+1)>1$, следовательно

   $|S_2|\le\frac{2\pi}{\ln(N+1)}\xrightarrow[x\to0^{+}]{}0.$

6. 6

   Объединение оценок. Обе части $S_1$ и $S_2$ стремятся к нулю при $x\to0^{+}$, значит, $f(x)\to0=f(0)$; нечётность функции даёт то же самое и слева. Следовательно, $f$ непрерывна в точке $x=0$. $\blacksquare$ Те же оценки дают больше: поскольку $n\,a_n=1/\ln n\to0$, по теореме Чонди–Джоллиффа синус-ряд сходится равномерно на всей $\mathbb{R}$, так что $f$ непрерывна всюду.