Определить, сходится или расходится ряд суммы n от 1 до бесконечности n/3ⁿ, и найти его сумму.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбирается подходящий признак сходимости. Общий член $a_n = n/3^n$ содержит произведение многочлена и экспоненты. Для таких выражений удобно применять признак Даламбера, так как дробь $3^{n+1}/3^n$ сокращается до константы. Можно было бы использовать и признак сравнения, но для него пришлось бы подбирать подходящий ряд для сравнения.

2. 2

   Выписывается отношение соседних членов. Пусть $a_n = \dfrac{n}{3^n}$ и $a_{n+1} = \dfrac{n+1}{3^{n+1}}$:

   $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{3}$

   Все члены положительны, поэтому модуль можно не учитывать.

3. 3

   Вычисляется предел и применяется признак. Так как $\dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n} \to 1$,

   $L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{3}$

   Поскольку $L = \tfrac13 < 1$, по признаку Даламбера ряд сходится абсолютно. Обращается внимание, что многочлен $n$ не влияет на предел — экспоненциальное убывание всегда «побеждает» многочлен.

4. 4

   Вычисляется точная сумма по формуле арифметико-геометрической прогрессии. Сходимость ряда ещё не даёт его значения, но данный ряд — стандартный. Если продифференцировать сумму геометрической прогрессии $\sum_{n\ge0} r^n = \dfrac{1}{1-r}$ и умножить результат на $r$, то для $|r|<1$ получаем:

   $\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} = \frac{r}{(1-r)^2}$

5. 5

   Подставляется $r = 1/3$. Представим $\dfrac{n}{3^n}$ как $n\left(\dfrac13\right)^{n}$:

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n} = \frac{\tfrac13}{\left(1-\tfrac13\right)^2} = \frac{\tfrac13}{\tfrac49} = \frac13\cdot\frac94 = \frac34$

6. 6

   Проверяется результат численно. Складывая первые несколько членов, получаем $0.3333 + 0.2222 + 0.1111 + 0.0494 + 0.0206 + \cdots$, а частичные суммы быстро стремятся к $0.75000$ и остаются на этом уровне — что совпадает с точным значением $3/4$.