Вычислить двойной интеграл x² + y² по области 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем повторный интеграл по прямоугольнику. Поскольку пределы постоянны, порядок интегрирования не влияет на результат, поэтому можно записать $\int_0^1\int_0^1\left(x^2+y^2\right)dy\,dx$.

2. 2

   Разобьём подынтегральное выражение на два однопеременных слагаемых. $\iint(x^2+y^2)\,dA=\iint x^2\,dA+\iint y^2\,dA$. Каждое слагаемое можно вынести за знак соответствующего интеграла, так как область — декартово произведение отрезков.

3. 3

   Вычислим первое слагаемое. $\int_0^1 x^2\,dx\cdot\int_0^1 dy=\frac13\cdot 1=\frac13$.

4. 4

   Используем симметрию для второго слагаемого. Если поменять $x$ и $y$ местами, квадрат перейдёт сам в себя, а второе слагаемое станет первым, поэтому $\iint y^2\,dA=\frac13$. Это позволяет не повторять вычисления.

5. 5

   Сложим оба результата. Получаем $\frac13+\frac13=\frac23\approx 0.6667$.

6. 6

   Проверим численно. Адаптивное численное интегрирование по единичному квадрату даёт $0.66666667$, что совпадает с $\frac23$.