Вычислить интеграл 2 dy, делённого на −2y.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала сократим числовые множители. Число $2$ в числителе и $-2$ в знаменателе сокращаются, остаётся $-1$:

   $\int \frac{2}{-2y}\,dy = \int \left(-\frac{1}{y}\right)dy$

   Это удобно сделать до интегрирования, чтобы не таскать множители дальше.

2. 2

   Вынесем константу за знак интеграла. Константы выносятся из-под знака интеграла:

   $\int \left(-\frac{1}{y}\right)dy = -\int \frac{1}{y}\,dy$

3. 3

   Применим правило интегрирования обратной функции.

   $\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C$

   Знак модуля обязателен: $\tfrac1y$ определена и при отрицательных $y$, и $\tfrac{d}{dy}\ln(-y) = \tfrac{-1}{-y} = \tfrac1y$. Если бы написали просто $\ln y$, ответ был бы верен только при $y > 0$. Также заметим, что формула $\int y^n dy = \tfrac{y^{n+1}}{n+1}$ здесь не работает, так как при $n = -1$ знаменатель обращается в ноль.

4. 4

   Запишем итоговый ответ.

   $\int \frac{2\,dy}{-2y} = -\ln|y| + C$

5. 5

   Проверим результат дифференцированием и укажем эквивалентную форму. $\tfrac{d}{dy}\left(-\ln|y|\right) = -\tfrac1y$, что совпадает с подынтегральной функцией. Ответ можно также записать как $\ln\left|\tfrac{1}{y}\right| + C$, ведь $-\ln|y| = \ln|y|^{-1}$. Такой интеграл встречается, например, при разделении переменных в уравнении распада $\tfrac{dy}{dx} = -2y$.