Вычислите тройной интеграл от 4x + 5y − 19z, где z меняется от 7 до 1, y — от 4 до 2, а x — от 3 до 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что все пределы перевёрнуты. Каждый интеграл идёт от большего значения к меньшему. Так как $\int_{a}^{b}=-\int_{b}^{a}$, знак меняется трижды, а $(-1)^{3}=-1$: весь ответ противоположен тому же интегралу с пределами по возрастанию. Можно либо сразу перевернуть все пределы, либо, как ниже, аккуратно вычислять как есть.

2. 2

   Проинтегрируем сначала по $z$, считая $x$ и $y$ постоянными. Первообразная по $z$ равна $4xz+5yz-\tfrac{19}{2}z^{2}$, поэтому

   $\int_{7}^{1}\left(4x+5y-19z\right)dz=\left(4x+5y-\tfrac{19}{2}\right)-\left(28x+35y-\tfrac{931}{2}\right)=-24x-30y+456$

   Порядок важен: первым интегрируется внутренний дифференциал $dz$ — с внутренней парой пределов.

3. 3

   Проинтегрируем полученное по $y$. С первообразной $(-24x+456)y-15y^{2}$:

   $\int_{4}^{2}\left(-24x-30y+456\right)dy=\left(-48x+852\right)-\left(-96x+1584\right)=48x-732$

4. 4

   Проинтегрируем по $x$. С первообразной $24x^{2}-732x$:

   $\int_{3}^{2}\left(48x-732\right)dx=\left(96-1464\right)-\left(216-2196\right)=-1368+1980=612$

5. 5

   Истолкуем знак. В подынтегральном выражении преобладает слагаемое $-19z$, а $z$ доходит до 7, поэтому интеграл «с возрастающими пределами» сильно отрицателен; три перестановки делают его положительным. Если перевернуть, например, только пределы по $z$, получится $-612$.

6. 6

   Проверим численно суммой Римана. Сумма по серединам с сеткой $120^{3}$ и знаковыми шагами $dz=-6/120$, $dy=-2/120$, $dx=-1/120$ даёт ровно $612.0$ ✓. Совпадение точное, потому что подынтегральная функция линейна, а для неё формула средних точна.