Предел при x → 0 выражения a·(2 + e^{1/x})/(1 + e^{1/x}) + (1 + |x|)^{1/x} существует. Найдите значение a.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметим, что функции $e^{1/x}$ и $|x|$ ведут себя по-разному при $x$, стремящемся к нулю справа и слева. Поэтому предел существует только тогда, когда правый и левый односторонние пределы совпадают. Вычислим каждый из них отдельно и затем приравняем.

2. 2

   Исследуем предел справа: $x\to 0^{+}$. Здесь $\frac1x\to+\infty$, значит, $e^{1/x}\to+\infty$, и $\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{1/x}}\to 1$ (делим числитель и знаменатель на $e^{1/x}$). Кроме того, $|x|=x$, поэтому второй слагаемый — $(1+x)^{1/x}\to e$. Получаем $L_{+}=a+e$.

3. 3

   Теперь рассмотрим предел слева: $x\to 0^{-}$. Здесь $\frac1x\to-\infty$, значит, $e^{1/x}\to 0$, и $\frac{2+e^{1/x}}{1+e^{1/x}}\to\frac{2}{1}=2.$ Кроме того, $|x|=-x$, поэтому второй слагаемый — $(1-x)^{1/x}$. Обозначим $t=-x$, тогда $t\to 0^{+}$, и $(1+t)^{-1/t}\to e^{-1}$. Получаем $L_{-}=2a+\dfrac1e$.

4. 4

   Приравняем односторонние пределы: $a+e=2a+\frac1e\ \Longrightarrow\ a=e-\frac1e.$

5. 5

   Проверим найденное значение. При $a=e-\tfrac1e\approx 2{,}35040$ правый предел равен $a+e\approx 5{,}06868$, а левый — $2a+\tfrac1e\approx 4{,}70081+0{,}36788\approx 5{,}06868$. Значения совпадают, значит, предел действительно существует только при этом $a$.