Вычислить неопределённый интеграл 25 x^{3/2} по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Вынесем константу за знак интеграла. Константы при интегрировании остаются неизменными: $\int 25x^{3/2}\,dx=25\int x^{3/2}\,dx.$

2. 2

   Применим правило степени с $n=\tfrac32$. Формула $\displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ работает для любого $n\ne-1$, в том числе для дробных показателей. В данном случае $n+1=\frac32+1=\frac52.$

3. 3

   Делим на новый показатель степени. $25\int x^{3/2}\,dx=25\cdot\frac{x^{5/2}}{\tfrac52}+C.$ Деление на $\tfrac52$ эквивалентно умножению на $\tfrac25$, что часто вызывает ошибки у учащихся.

4. 4

   Умножим константы. $25\cdot\tfrac25=10$, значит, первообразная имеет вид $10x^{5/2}+C$.

5. 5

   Проверим результат дифференцированием. $\dfrac{d}{dx}\left(10x^{5/2}\right)=10\cdot\tfrac52 x^{3/2}=25x^{3/2}$ — получаем исходное подынтегральное выражение.