Вычислить двойной интеграл sin(x²) + cos(y²) по области 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Разобьём сумму на два двойных интеграла. Интегрирование линейно, поэтому

   $\iint \left(\sin(x^2) + \cos(y^2)\right)dA = \iint \sin(x^2)\,dA + \iint \cos(y^2)\,dA$

   Это ключевой шаг: теперь каждое слагаемое зависит только от одной переменной, хотя ни одно из них не выражается через элементарные функции.

2. 2

   Упростим каждое слагаемое, используя отсутствие одной переменной. В первом интеграле $\sin(x^2)$ не зависит от $y$, поэтому внутреннее интегрирование по $y$ просто умножает на длину отрезка $1$:

   $\int_0^1\!\!\int_0^1 \sin(x^2)\,dy\,dx = \int_0^1 \sin(x^2)\left(\int_0^1 dy\right)dx = \int_0^1 \sin(x^2)\,dx$

   Аналогично (интегрируя сначала по $x$) второе слагаемое сводится к $\int_0^1 \cos(y^2)\,dy$.

3. 3

   Рассмотрим оставшиеся интегралы как интегралы Френеля. Обозначим обе переменные интегрирования через $t$:

   $I = \int_0^1 \sin(t^2)\,dt + \int_0^1 \cos(t^2)\,dt$

   Ни $\sin(t^2)$, ни $\cos(t^2)$ не имеют элементарных первообразных — эти функции определяют интегралы Френеля $S$ и $C$ (с точностью до стандартного множителя $\pi/2$). Поэтому точный ответ выражается как $\sqrt{\tfrac{\pi}{2}}\left[S\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right) + C\!\left(\sqrt{\tfrac{2}{\pi}}\right)\right]$, а на практике используется численное значение.

4. 4

   Выполним численное вычисление каждого интеграла. По формуле Гаусса-Лежандра высокого порядка получаем

   $\int_0^1 \sin(t^2)\,dt = 0.3102683, \qquad \int_0^1 \cos(t^2)\,dt = 0.9045242$

   Ряды Тейлора подтверждают порядок величин: $\sin(t^2) \approx t^2$ интегрируется примерно в $\tfrac13$, а $\cos(t^2) \approx 1 - \tfrac{t^4}{2}$ — примерно в $1 - \tfrac{1}{10} = 0.9$.

5. 5

   Сложим результаты и сверим с прямым 2D-интегрированием.

   $I \approx 0.3102683 + 0.9045242 = 1.2147925$

   Численное вычисление исходного двойного интеграла по квадрату без разбиения даёт $1.21479254$ — совпадение до восьмого знака, что подтверждает корректность разложения и вычислений.