Решите дифференциальное уравнение dy/dx + ay = b, где a и b — постоянные.

Step-by-step solution

1. 1

   Приводим к стандартному виду. Уравнение уже записано как $y'+P(x)y=Q(x)$ с постоянными коэффициентами:

   $P(x)=a,\qquad Q(x)=b$

2. 2

   Находим интегрирующий множитель.

   $\mu(x)=e^{\int a\,dx}=e^{ax}$

3. 3

   Умножаем на него и сворачиваем левую часть в производную произведения.

   $e^{ax}\frac{dy}{dx}+ae^{ax}y=be^{ax}\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\left(e^{ax}y\right)=be^{ax}$

4. 4

   Интегрируем, считая $a\neq 0$.

   $e^{ax}y=\frac{b}{a}e^{ax}+C\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{b}{a}+Ce^{-ax}$

   Именно из-за деления на $a$ случай $a=0$ требует отдельного разбора.

5. 5

   Разбираем случай $a=0$. Уравнение вырождается в $\tfrac{dy}{dx}=b$, и его решение — прямая:

   $y=bx+C$

6. 6

   Проверяем и истолковываем результат. При $a\neq 0$: $y'=-aCe^{-ax}$ и $ay=b+aCe^{-ax}$, поэтому $y'+ay=b$ $\checkmark$ (численно подтверждено при $a=1.3$, $b=2.1$, $C=0.7$, $x=0.6$). Постоянная $\tfrac{b}{a}$ — это положение равновесия: при $a>0$ всякое решение к нему стремится, и именно такая картина стоит за законом охлаждения Ньютона и за зарядкой RC-цепи.