Определите, сходится ли интеграл от минус бесконечности до 0 от 1/(3√(x−8)²) dx, и вычислите его, если он сходится.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем корень в модуль. Для любого действительного $x$ выполняется равенство $\sqrt{(x-8)^2}=|x-8|$ — а не $x-8$. Это принципиально важно для задачи, так как область интегрирования лежит значительно левее $8$.

2. 2

   Убираем модуль на данном промежутке. На $(-\infty,0]$ имеем $x\le 0<8$, значит, $x-8<0$ и $|x-8|=8-x$. Тогда интеграл принимает вид $\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}.$

3. 3

   Записываем интеграл как предел. Нижний предел интегрирования бесконечен, поэтому по определению $\int_{-\infty}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}=\lim_{a\to-\infty}\int_{a}^{0}\frac{dx}{3(8-x)}.$ Подынтегральная функция непрерывна и положительна на всём промежутке — единственная проблема связана с неограниченным интервалом интегрирования.

4. 4

   Находим первообразную. Подставим $u=8-x$, тогда $du=-dx$, и получаем $\int\frac{dx}{3(8-x)}=-\frac13\int\frac{du}{u}=-\frac13\ln|8-x|+C.$

5. 5

   Вычисляем предел. $\lim_{a\to-\infty}\left[-\frac13\ln(8-x)\right]_{a}^{0}=\lim_{a\to-\infty}\left(-\frac13\ln 8+\frac13\ln(8-a)\right).$ При $a\to-\infty$ выражение $8-a\to+\infty$, а $\ln(8-a)\to+\infty$, поэтому вся скобка неограниченно возрастает.

6. 6

   Делаем вывод. Интеграл расходится к $+\infty$. Это типичный «хвост» $1/x$: подынтегральная функция убывает как $\frac{1}{3|x|}$, а $\int^{\infty}\frac{dx}{x}$ — это граничный случай, который не сходится.