Вычислить предел (4 – x²)/(2x² + x³) при x стремится к –2.

Step-by-step solution

1. 1

   Пробуем подставить значение. При $x=-2$ числитель равен $4-4=0$, а знаменатель $8-8=0$, то есть получается неопределённость $\frac{0}{0}$ — значит, в числителе и знаменателе есть общий множитель.

2. 2

   Раскладываем числитель на множители. Это разность квадратов: $4-x^2=(2-x)(2+x)$. Важно записывать в таком порядке: вариант $-(x-2)(x+2)$ тоже верен, но с ним проще ошибиться со знаком.

3. 3

   Раскладываем знаменатель. Выносим общий множитель $x^2$: $2x^2+x^3=x^2(2+x)$.

4. 4

   Сокращаем общий множитель. При $x\neq -2$ выражение равно $\frac{(2-x)(2+x)}{x^2(2+x)}=\frac{2-x}{x^2}$, а точка $x=-2$ не влияет на значение предела.

5. 5

   Подставляем в упрощённое выражение. Получаем $\frac{2-(-2)}{(-2)^2}=\frac{4}{4}=1$.

6. 6

   Делаем вывод. У исходной функции устранимая разрывность в точке $x=-2$: если определить значение как 1, функция станет непрерывной в этой точке.