Верно ли, что неопределённый интеграл от x по x равен x²/2? Обосновать ответ.

Step-by-step solution

1. 1

   Применяем правило интегрирования степени. При любом показателе $n\ne -1$

   $\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

   Здесь $x=x^{1}$, то есть $n=1$, поэтому

   $\int x\,dx=\frac{x^{1+1}}{1+1}+C=\frac{x^{2}}{2}+C$

2. 2

   Проверяем кандидата обратным дифференцированием. Интегрирование проверяется всегда одним способом — продифференцировать ответ:

   $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}\right)=\frac{2x}{2}=x\ \checkmark$

   Значит, $\dfrac{x^{2}}{2}$ действительно является первообразной для $x$. Записанная формула не столько неверна, сколько неполна.

3. 3

   Понимаем, почему $+C$ нельзя выбросить. Дифференцирование уничтожает постоянные, поэтому при любом вещественном $C$

   $\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)=x$

   Например, производная каждой из функций $\tfrac{x^{2}}{2}$, $\tfrac{x^{2}}{2}+7$ и $\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{1}{3}$ равна $x$. Назвав «тем самым» интегралом лишь одну из них, мы молча выбрасываем бесконечно много столь же верных ответов.

4. 4

   Постоянная $C$ охватывает их все. По теореме Лагранжа две первообразные одной функции на промежутке отличаются на постоянную, поэтому семейство $\tfrac{x^{2}}{2}+C$ — это не какие-то первообразные, а все первообразные функции $x$. Именно это и обозначает запись $\int x\,dx$.

5. 5

   Отметим, когда постоянная действительно исчезает. В определённом интеграле она сокращается:

   $\int_{0}^{3}x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}+C\right]_{0}^{3}=\left(\frac92+C\right)-\left(0+C\right)=\frac92$

   То есть в неопределённом интеграле $+C$ писать обязательно, а в определённом её можно спокойно не учитывать.