Вычислите тройной интеграл от xyz по телу, где 0 ≤ z ≤ 3 и x² + y² ≤ z.

Step-by-step solution

1. 1

   Описываем тело. Условие $x^{2}+y^{2}\le z$ помещает точку внутрь параболоида $z=x^{2}+y^{2}$, а неравенство $z\le 3$ срезает его плоскостью сверху. На высоте $z$ сечение — круг радиуса $\sqrt z$, так что тело представляет собой чашу глубиной $3$ с радиусом верхнего края $\sqrt3$.

2. 2

   Переходим к цилиндрическим координатам. При $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ и $dV=r\,dz\,dr\,d\theta$ имеем

   $xyz=r^{2}\cos\theta\sin\theta\cdot z,$

   поэтому

   $\iiint_E xyz\,dV=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt3}\!\int_{r^{2}}^{3} r^{3}z\cos\theta\sin\theta\,dz\,dr\,d\theta.$

3. 3

   Замечаем, что интеграл распадается на множители. Пределы от $\theta$ не зависят, а вся зависимость подынтегральной функции от $\theta$ сводится к одному множителю $\cos\theta\sin\theta$. Поэтому весь тройной интеграл раскладывается как

   $\left(\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{\sqrt3}\!\int_{r^{2}}^{3}r^{3}z\,dz\,dr\right).$

   Проверка на такое разложение до начала вычислений экономит всю радиальную часть работы.

4. 4

   Вычисляем угловой множитель. Пользуясь тем, что $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin 2\theta$, получаем

   $\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin 2\theta}{2}\,d\theta=\left[-\frac{\cos 2\theta}{4}\right]_{0}^{2\pi}=-\frac14+\frac14=0.$

5. 5

   Делаем вывод и понимаем его геометрически. Первый множитель равен $0$, второй конечен, поэтому весь интеграл равен

   $\iiint_E xyz\,dV=0.$

   Причина в симметрии: тело не меняется при замене $x\mapsto-x$, а функция $xyz$ при этом меняет знак, так что вклады попарно уничтожаются. Численная тройная квадратура по этой области даёт $-9.6\times10^{-16}$, то есть нуль с машинной точностью.