Определить поведение на бесконечности функции f(x) = (-4x³ + 7x + 9)/(8x⁶ - 9x⁴ - 2x) при x → -∞ и x → +∞.

Step-by-step solution

1. 1

   Сравним степени числителя и знаменателя. В числителе степень $3$, в знаменателе — $6$. Если степень знаменателя больше, дробь при больших $|x|$ всегда стремится к нулю — остальные члены уже не влияют на результат.

2. 2

   Оставим только старшие члены. При больших $|x|$ $f(x)\approx\frac{-4x^3}{8x^6}=\frac{-1}{2x^3}.$ Формально, если разделить числитель и знаменатель на $x^6$, все остальные члены исчезают, кроме $8$ в знаменателе.

3. 3

   Рассмотрим предел при $x\to+\infty$. Тогда $x^3\to+\infty$, значит, $\dfrac{-1}{2x^3}\to 0$ через отрицательные значения: $f(x)\to 0^{-}$.

4. 4

   Рассмотрим предел при $x\to-\infty$. Тогда $x^3\to-\infty$, и $\dfrac{-1}{2x^3}\to 0$ через положительные значения: $f(x)\to 0^{+}$.

5. 5

   Делаем вывод. Оба предела равны нулю, значит, $y=0$ — горизонтальная асимптота с обеих сторон. Например, $f(10^{6})\approx-5\times10^{-19}$ и $f(-10^{6})\approx+5\times10^{-19}$, что подтверждает знаки пределов.