Найдите значения пределов: предел 25 при x→1, предел 3x² при x→10, предел 2x⁴ – x² при x→3, предел (x³ + 2)⁶ при x→1 и предел |–15x + 4| при x→3.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала проверим непрерывность функций. Прямая подстановка допустима тогда и только тогда, когда функция непрерывна в рассматриваемой точке. Многочлены непрерывны всюду, модуль многочлена также непрерывен всюду, а постоянная функция тривиально непрерывна — значит, все пять пределов равны значениям функций в точках. Здесь не возникает неопределённости вида $0/0$.

2. 2

   Предел 1: постоянная функция. $f(x) = 25$ не зависит от $x$, поэтому при $x = 1$ значение не меняется:

   $\lim_{x\to 1} 25 = 25$

   То, что в записи предела фигурирует $x$, не означает, что $x$ обязательно входит в выражение функции.

3. 3

   Пределы 2 и 3: многочлены. Подставим значения $x$ и аккуратно вычислим степени:

   $\lim_{x\to 10} 3x^2 = 3(10)^2 = 3(100) = 300$

   $\lim_{x\to 3} (2x^4 - x^2) = 2(81) - 9 = 162 - 9 = 153$

   Важно: $3(10)^2 = 300$, а не $(3\cdot 10)^2 = 900$ — коэффициент не возводится в квадрат.

4. 4

   Предел 4: степень многочлена. Сначала вычислим внутреннее выражение, затем возведём в степень:

   $\lim_{x\to 1} (x^3+2)^6 = (1+2)^6 = 3^6 = 729$

   Используется свойство композиции пределов, так как внешняя функция $u^6$ непрерывна.

5. 5

   Предел 5: модуль. Сначала вычислим выражение под знаком модуля, затем возьмём модуль:

   $\lim_{x\to 3} |-15x+4| = |-45+4| = |-41| = 41$

   Ответ — $41$: модуль всегда неотрицателен. У функции модуля есть «углы», но это не нарушает непрерывность, поэтому подстановка допустима. Кроме того, «угол» здесь не в точке $x = 3$, а в $x = \tfrac{4}{15}$.

6. 6

   Соберём и проверим ответы. Получены значения $25$, $300$, $153$, $729$ и $41$. Каждый результат перепроверен с помощью символьного вычисления пределов и совпадает со значением функции в точке, что гарантируется непрерывностью.