Вычислить неопределённый интеграл 3/x - 2/x² по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим по линейности и вынесем константы за знак интеграла.

   $\int\left(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}\right)dx=3\int\frac{dx}{x}-2\int\frac{dx}{x^2}$

   Область определения — $x\neq0$, первообразная корректна отдельно на $(-\infty,0)$ и $(0,\infty)$.

2. 2

   Первое слагаемое: единственный случай, когда степенное правило не работает. Запишем $\tfrac1x=x^{-1}$, тогда по формуле $\int x^ndx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ пришлось бы делить на $n+1=0$. Значит, при $n=-1$ возникает исключение, которое обрабатывается через логарифм:

   $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$

   Модуль под логарифмом необходим для корректности при отрицательных $x$. Значит, первое слагаемое даёт $3\ln|x|$.

3. 3

   Второе слагаемое: степенное правило работает стандартно. Здесь $\tfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ и $n+1=-1\neq0$:

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

   Значит, $2\int x^{-2}dx=-\dfrac{2}{x}$.

4. 4

   Учтём стоящий впереди минус. Во втором слагаемом интеграл вычитается:

   $-2\int x^{-2}dx=-\left(-\frac{2}{x}\right)=+\frac{2}{x}$

   Именно на этом шаге чаще всего ошибаются со знаком — в ответе стоит $+\tfrac2x$, а не $-\tfrac2x$.

5. 5

   Объединим всё в одну первообразную.

   $\int\left(\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}\right)dx=3\ln|x|+\frac{2}{x}+C$

   Два похожих слагаемых дают на выходе два совершенно разных типа функций — логарифмическую и рациональную.

6. 6

   Проверим ответ дифференцированием. $\dfrac{d}{dx}\left[3\ln|x|+\tfrac2x\right]=\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}$ ✓. Численно, симметричные разностные отношения при $x=0.7,\ 2.3,\ -1.6$ совпадают с подынтегральной функцией до пяти знаков ✓, включая отрицательные $x$.