Пусть f — дифференцируемая функция, причём f(3) = 5 и f′(3) = 2. Если g — обратная к f функция, чему равно g′(5)?

Step-by-step solution

1. 1

   Начнём с определяющего свойства обратной функции, а не с полузабытой формулы. По определению $g$ отменяет действие $f$, поэтому для каждого $x$ из области определения

   $f\bigl(g(x)\bigr)=x.$

   Всё остальное получается дифференцированием этого тождества.

2. 2

   Продифференцируем обе части по x, используя цепное правило. Слева стоит композиция, справа производная равна $1$:

   $f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x)=1\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=\frac{1}{f'\bigl(g(x)\bigr)}.$

3. 3

   Найдём внутреннее значение g(5) до подстановки. Именно этот шаг чаще всего пропускают. Так как $f(3)=5$, применив $g$ к обеим частям, получаем

   $g(5)=3.$

   Значит, производную $f$ нужно брать в точке $3$, а не в точке $5$.

4. 4

   Подставим оба известных числа.

   $g'(5)=\frac{1}{f'(g(5))}=\frac{1}{f'(3)}=\frac{1}{2}.$

5. 5

   Истолкуем результат. Графики $f$ и $g$ симметричны относительно прямой $y=x$, а такая симметрия меняет местами приращения по вертикали и по горизонтали — поэтому угловые коэффициенты становятся взаимно обратными. Если функция растёт с наклоном $2$ в точке $(3,5)$, то обратная растёт с наклоном $\tfrac12$ в точке $(5,3)$.