Вычислить криволинейный интеграл (e^y + x) dx + (x e^y − 2y) dy по замкнутому треугольному контуру через точки (0,0), (0,1) и (1,2).

Step-by-step solution

1. 1

   Вместо прямого параметрического вычисления удобнее применить теорему Грина. Контур замкнут и кусочно-гладок, а параметризация трёх отрезков привела бы к трём сложным интегралам с $e^y$. Теорема Грина позволяет свести задачу к одному двойному интегралу по области $D$, ограниченной треугольником:

   $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

2. 2

   Определим функции $P$ и $Q$.

   $P(x,y)=e^{y}+x,\qquad Q(x,y)=xe^{y}-2y$

3. 3

   Вычислим частные производные. При дифференцировании $Q$ по $x$ $y$ считается константой, поэтому $e^y$ — просто множитель, а $-2y$ исчезает:

   $\frac{\partial Q}{\partial x}=e^{y}$

   При дифференцировании $P$ по $y$ слагаемое $x$ исчезает:

   $\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}$

4. 4

   Вычтем и проинтегрируем.

   $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}-e^{y}=0$

   Следовательно,

   $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D 0\,dA=0$

   $\boxed{0}$

5. 5

   Почему форма треугольника не повлияла на ответ? Так как $\partial Q/\partial x=\partial P/\partial y$ всюду на плоскости (область односвязна), поле консервативно: оно является градиентом потенциала

   $\varphi(x,y)=xe^{y}+\tfrac{x^2}{2}-y^2$

   так как $\varphi_x=e^y+x=P$, $\varphi_y=xe^y-2y=Q$. Для любого замкнутого контура разность потенциалов равна нулю — вершины треугольника могли быть любыми.

6. 6

   Проверим напрямую через потенциал. При обходе $(0,0)\to(0,1)\to(1,2)\to(0,0)$ значения $\varphi$ равны $0$, $-1$, $e^2+\tfrac12-4$, и снова $0$. Сумма трёх разностей телескопируется в $0$, что подтверждает результат по теореме Грина.