Решить дифференциальное уравнение dy/dx = 6 − y/2.

Step-by-step solution

1. 1

   Приведём уравнение к стандартному линейному виду. Перенесём слагаемое с $y$ влево:

   $\frac{dy}{dx}+\frac12 y=6$

   Это вид $y'+p(x)y=q(x)$ с постоянными $p=\frac12$ и $q=6$, поэтому метод интегрирующего множителя применим напрямую.

2. 2

   Сначала найдём положение равновесия — оно подсказывает ответ. Постоянное решение требует $\frac{dy}{dx}=0$, то есть $6-\frac{y}{2}=0$, откуда $y=12$. Эта постоянная функция действительно является решением, а поскольку коэффициент при $y$ в исходной записи отрицателен, решения должны затухать к $12$. Значит, ждём ответ вида «$12$ плюс затухающее слагаемое».

3. 3

   Построим интегрирующий множитель.

   $\mu(x)=e^{\int \frac12\,dx}=e^{x/2}$

4. 4

   Умножим на него уравнение и узнаем производную произведения.

   $e^{x/2}\frac{dy}{dx}+\frac12 e^{x/2}y=6e^{x/2}\;\Longrightarrow\;\frac{d}{dx}\left(ye^{x/2}\right)=6e^{x/2}$

   Свернуть левую часть в одну производную — ради этого множитель $e^{x/2}$ и вводится.

5. 5

   Проинтегрируем и выразим $y$. Так как $\int 6e^{x/2}\,dx=12e^{x/2}+C$,

   $ye^{x/2}=12e^{x/2}+C\;\Longrightarrow\;y=12+Ce^{-x/2}$

   Разделение переменных даёт то же самое семейство решений, где $C$ вбирает в себя постоянную интегрирования.

6. 6

   Проверим и прочитаем поведение решения. Дифференцируя, получаем $y'=-\frac{C}{2}e^{-x/2}$, а правая часть равна

   $6-\frac{y}{2}=6-6-\frac{C}{2}e^{-x/2}=-\frac{C}{2}e^{-x/2}$

   Они совпадают при любом $C$. При $x\to\infty$ экспонента затухает и $y\to 12$ независимо от начального значения, поэтому $y=12$ (случай $C=0$) — устойчивое положение равновесия.