Вычислить неопределённый интеграл ln(x) · arctan(x) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Выбор множителя для дифференцирования. Оба выражения — $\ln x$ и $\tan^{-1}x$ — имеют простые производные, но неудобные первообразные. Если положить $u=\ln x$ (тогда $du=\frac{dx}{x}$), а $dv=\tan^{-1}(x)\,dx$, то после интегрирования по частям появится множитель $\frac{1}{x}$, который сократится с $x$ внутри $v$. Такой выбор делает оставшийся интеграл проще, а не сложнее.

2. 2

   Вычисление $v=\int\tan^{-1}x\,dx$ предварительным интегрированием по частям. Пусть $a=\tan^{-1}x$, $db=dx$:

   $\int\tan^{-1}x\,dx=x\tan^{-1}x-\int\frac{x}{1+x^{2}}dx=x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2}).$

   Последний интеграл берётся подстановкой $u=1+x^{2}$, отсюда появляется множитель $\tfrac12$.

3. 3

   Основное интегрирование по частям. Подставим $u=\ln x$, $v=x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})$:

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=\ln x\left(x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})\right)-\int\left(x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})\right)\frac{dx}{x}.$

   Разделим на $x$ внутри интеграла:

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=x\ln x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln x\ln(1+x^{2})-\int\tan^{-1}x\,dx+\tfrac12\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx.$

   Здесь как раз и происходит ожидаемое сокращение: $x\tan^{-1}x\cdot\frac1x$ даёт $\tan^{-1}x$, интеграл от которого уже найден.

4. 4

   Распознаём оставшийся интеграл как дилогарифм. Интеграл $\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx$ не выражается через элементарные функции. Подставив $t=-x^{2}$ и сравнив с определением $\operatorname{Li}_{2}(z)=-\int_{0}^{z}\frac{\ln(1-w)}{w}dw$, получаем:

   $\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx=-\tfrac12\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})+C.$

   Числовая проверка: производная $-\tfrac12\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})$ при $x=0{,}6$ даёт $0{,}5124745$, а $\frac{\ln(1{,}36)}{0{,}6}=0{,}5124745$ — совпадает.

5. 5

   Собираем итоговую формулу. Подставим $\int\tan^{-1}x\,dx$ из шага 2 и дилогарифм из шага 4:

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=x\ln x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln x\ln(1+x^{2})-x\tan^{-1}x+\tfrac12\ln(1+x^{2})-\tfrac14\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})+C.$

   Таким образом, ответ выражается в замкнутой форме, но только с использованием дилогарифма — ни одна комбинация элементарных функций не подойдёт.

6. 6

   Проверка численным дифференцированием. Вычислим производную правой части по формуле центральных разностей: при $x=0{,}5$ получаем $-0{,}32137603$, а $\ln(0{,}5)\tan^{-1}(0{,}5)=-0{,}32137603$ — совпадает; при $x=0{,}7$ — $-0{,}21783065$ против $-0{,}21783065$. Совпадение до восьмого знака подтверждает правильность всех коэффициентов.