Постройте график f(x) = −2x² · eˣ на отрезке от x = −7 до x = 0, указав критические точки, точки перегиба и множество значений.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала определим знак и значения на концах. Так как $x^2\ge 0$ и $e^x>0$ всегда, множитель $-2$ даёт

   $f(x)\le 0\quad\text{при всех }x,\qquad f(x)=0\text{ только при }x=0$

   На левом конце $f(-7)=-98e^{-7}\approx -0.0894$, то есть кривая начинается чуть ниже оси — экспонента уже подавила рост $x^2$.

2. 2

   Дифференцируем по правилу произведения.

   $f^{\prime}(x)=-2\left(2xe^{x}+x^{2}e^{x}\right)=-2xe^{x}(x+2)$

   значит, критические точки — это $x=0$ и $x=-2$; множитель $e^x$ в нуль не обращается.

3. 3

   Выясним направление движения на каждом куске. При $x<-2$ и $x$, и $x+2$ отрицательны, их произведение положительно, поэтому $f^{\prime}<0$: кривая убывает. При $-2<x<0$ произведение отрицательно, значит $f^{\prime}>0$: кривая возрастает. Отсюда

   $x=-2\ \text{— точка минимума},\qquad f(-2)=-2(4)e^{-2}=-\frac{8}{e^{2}}\approx -1.0827$

   а $x=0$ даёт максимум на этом отрезке: $f(0)=0$.

4. 4

   Находим точки перегиба по второй производной.

   $f^{\prime\prime}(x)=-2e^{x}\left(x^{2}+4x+2\right)$

   $x^{2}+4x+2=0\;\Longrightarrow\;x=-2\pm\sqrt2\approx -3.4142,\ -0.5858$

   причём $f(-3.4142)\approx -0.7671$ и $f(-0.5858)\approx -0.3820$. Между этими точками кривая выпукла вниз, вне их — выпукла вверх.

5. 5

   Собираем эскиз и указываем область значений. На $[-7,0]$ график начинается около $-0.089$, опускается во впадину $\left(-2,\,-8e^{-2}\right)$, затем поднимается и касается начала координат снизу, выполаживаясь на подходе, поскольку $f^{\prime}(0)=0$. Значит, область значений

   $\left[-\frac{8}{e^{2}},\,0\right]\approx[-1.0827,\,0]$

   Быстрая численная проверка подтверждает форму: $f(-7)=-0.0894$, $f(-3.4142)=-0.7671$, $f(-2)=-1.0827$, $f(-0.5858)=-0.3820$, $f(0)=0\;\checkmark$.