Найдите все решения x(t) дифференциального уравнения x' = 4t·x^2.

Step-by-step solution

1. 1

   Заметьте, что переменные разделяются. Правая часть раскладывается в произведение функции от $t$ на функцию от $x$: $4t\cdot x^2$. Это и есть условие применимости метода разделения переменных.

2. 2

   Разделите переменные и проинтегрируйте. Считая $x\ne 0$, чтобы деление было законным, $\frac{dx}{x^2}=4t\,dt\ \Longrightarrow\ \int x^{-2}\,dx=\int 4t\,dt\ \Longrightarrow\ -\frac1x=2t^2+C_0.$

3. 3

   Выразите $x$. Умножив на $-1$, получаем $\dfrac1x=-2t^2-C_0$. Обозначение $C=-C_0$ поглощает знак: $x(t)=\frac{1}{C-2t^2},\qquad C\in\mathbb{R}.$ Каждое такое решение живёт только на промежутке, где $C-2t^2\ne 0$; при $C>0$ оно обращается в бесконечность в точках $t=\pm\sqrt{C/2}$.

4. 4

   Верните решение, потерянное при разделении. Деление на $x^2$ молча предполагало $x\ne 0$. Проверим $x(t)\equiv 0$ напрямую: $\dot{x}=0$ и $4tx^2=0$, значит уравнение выполняется. Это настоящее решение, и ни при каком конечном $C$ оно не имеет вида $1/(C-2t^2)$.

5. 5

   Проверьте найденное семейство. Дифференцируя $x=(C-2t^2)^{-1}$, получаем $\dot{x}=-(C-2t^2)^{-2}(-4t)=\dfrac{4t}{(C-2t^2)^2}=4tx^2$, что и требовалось.

6. 6

   Запишите полное множество решений. $x(t)\equiv 0\qquad\text{или}\qquad x(t)=\frac{1}{C-2t^2}\ \ (C\in\mathbb{R}),$ каждое — на максимальном промежутке, где знаменатель не обращается в ноль.