Упростите и разложите (y')² - 4x²y' + 4x⁴ - x², затем используйте разложение для решения полученного дифференциального уравнения приравнив его к нулю.

Step-by-step solution

1. 1

   Рассмотрим $y'$ как переменную и выделим полный квадрат. Сгруппируем первые три слагаемых:

   $(y')^2-4x^2y'+4x^4=(y'-2x^2)^2$

   так как $2\cdot y'\cdot 2x^2=4x^2y'$ и $(2x^2)^2=4x^4$. Остаётся слагаемое $-x^2$.

2. 2

   Заметим разность квадратов. Полученное выражение:

   $(y'-2x^2)^2-x^2=\bigl(y'-2x^2-x\bigr)\bigl(y'-2x^2+x\bigr)$

   используется формула $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ при $A=y'-2x^2$, $B=x$.

3. 3

   Проверим разложение раскрытием скобок. Перемножая, $(y'-2x^2)^2-x^2=(y')^2-4x^2y'+4x^4-x^2$, что совпадает с исходным выражением. Для числовой проверки: при $y'=1.4$, $x=0.7$ обе части дают $-1.5906$.

4. 4

   Приравняем каждый множитель к нулю — разложение ОДУ на две ветви. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю, поэтому исходное квадратное ОДУ распадается на два простых:

   $y'=2x^2+x\qquad\text{или}\qquad y'=2x^2-x$

5. 5

   Проинтегрируем каждую ветвь.

   $y=\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C\qquad\text{или}\qquad y=\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$

   Получаются два семейства решений с одной произвольной постоянной — это ожидаемо, ведь уравнение квадратное относительно $y'$, значит, в каждой точке допустимо два наклона.

6. 6

   Проверим одно из решений в исходном уравнении. Для $y=\tfrac{2x^3}{3}+\tfrac{x^2}{2}$ имеем $y'=2x^2+x$, тогда $y'-2x^2=x$ и

   $(y'-2x^2)^2-x^2=x^2-x^2=0\ \checkmark$

   Аналогично, если $y'-2x^2=-x$, проверка проходит и для второго семейства.