Докажите через определение производной по пределу, что производная 2x³−1 равна 6x².

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем определение. Для $f(x)=2x^3-1$ производная определяется как $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Вся задача сводится к тому, чтобы упростить это отношение настолько, чтобы при $h\to 0$ можно было просто подставить значение.

2. 2

   Раскроем $f(x+h)$. Используя формулу $(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$, получаем: $f(x+h)=2x^3+6x^2h+6xh^2+2h^3-1$.

3. 3

   Вычтем $f(x)$. Слагаемые $2x^3$ и $-1$ сокращаются, остаётся $f(x+h)-f(x)=6x^2h+6xh^2+2h^3$. Все оставшиеся слагаемые содержат множитель $h$, что и позволяет отношение остаться конечным.

4. 4

   Разделим на $h$. Вынося $h$ за скобки, получаем $\frac{h\left(6x^2+6xh+2h^2\right)}{h}=6x^2+6xh+2h^2$, что верно при любом $h\neq 0$ — а этого достаточно для предела.

5. 5

   Переходим к пределу. Оставшееся выражение — многочлен по $h$, поэтому можно подставить $h=0$: $\lim_{h\to 0}\left(6x^2+6xh+2h^2\right)=6x^2$.

6. 6

   Формулируем вывод. Следовательно, $\frac{d}{dx}(2x^3-1)=6x^2$, что совпадает с правилом степени и подтверждает, что добавление константы $-1$ не влияет на производную.