Вычислить тройной интеграл от xyz, умноженного на e в степени −(x + y + z), по области 0 ≤ x ≤ k, 0 ≤ y ≤ k − x, 0 ≤ z ≤ k − x − y.

Step-by-step solution

1. 1

   Узнаём в области тетраэдр. Вложенные пределы — это в точности условия

   $x \ge 0, \quad y \ge 0, \quad z \ge 0, \quad x + y + z \le k$

   то есть симплекс с вершинами в начале координат и в точках $(k,0,0)$, $(0,k,0)$, $(0,0,k)$. Именно такой взгляд позволяет вынести экспоненту, зависящую только от $x+y+z$, вдоль поверхностей уровня.

2. 2

   Пользуемся тем, что экспонента постоянна на каждом слое. Обозначим $u = x + y + z$. На слое, где $x+y+z = u$, множитель $e^{-u}$ постоянен, поэтому интеграл сводится к одному интегралу по $u$, как только станет известно, «сколько» $xyz$ приходится на каждый слой.

3. 3

   Находим вес xyz на подсимплексе. Закон подобия даёт

   $\int_{x+y+z\le u} xyz\,dV = \frac{u^6}{720}$

   (однородная подынтегральная функция степени 3 по трёхмерной области масштабируется как $u^{3+3} = u^6$; константа $\frac{1}{720} = \frac{1!\,1!\,1!}{6!}$ берётся из интеграла Дирихле). Дифференцирование по $u$ даёт плотность на слое: $\frac{u^5}{120}$.

4. 4

   Сводим всё к одномерному интегралу.

   $I = \frac{1}{120}\int_0^k u^5 e^{-u}\,du$

   Это интеграл типа неполной гамма-функции, и повторное интегрирование по частям (или стандартная первообразная) даёт

   $\int u^5 e^{-u}\,du = -e^{-u}\left(u^5 + 5u^4 + 20u^3 + 60u^2 + 120u + 120\right)$

5. 5

   Подставляем пределы от 0 до k.

   $\int_0^k u^5 e^{-u}\,du = 120 - e^{-k}\left(k^5 + 5k^4 + 20k^3 + 60k^2 + 120k + 120\right)$

   Разделив на $120$:

   $I = 1 - e^{-k}\left(1 + k + \frac{k^2}{2} + \frac{k^3}{6} + \frac{k^4}{24} + \frac{k^5}{120}\right)$

   В скобках стоят первые шесть членов ряда Маклорена для $e^{k}$ — это регуляризованная неполная гамма-функция $P(6, k)$, то есть вероятность того, что пуассоновская величина со средним $k$ окажется не меньше $6$.

6. 6

   Проверяем численно и по предельным случаям. При $k \to \infty$ получаем $I \to 1$; при $k \to 0$ получаем $I \to 0$. Прямая вложенная квадратура по тетраэдру даёт $0.0005941848$ при $k = 1$, $0.0420210382$ при $k = 2.5$ и $0.3840393452$ при $k = 5$ — совпадение с замкнутой формулой до десятого знака в каждом случае.