Найдите объём тела, полученного вращением на 360° вокруг оси x области, ограниченной кривой y = x² + 5, осью x, осью y и прямой x = 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Уточняем область и выбираем метод. Четыре границы дают $0\le x\le 5$ (ось $y$ — это прямая $x=0$) и $0\le y\le x^2+5$. Так как $x^2+5>0$ всюду на $[0,5]$, кривая ось вращения не пересекает, а область прилегает к этой оси всем своим основанием, — значит каждое сечение, перпендикулярное оси $x$, представляет собой полный круг, а не кольцо. Метод дисков здесь самый прямой; метод цилиндрических слоёв потребовал бы разбить область по $y=5$ и дал бы больше работы.

2. 2

   Записываем интеграл по методу дисков. Слой в точке $x$ толщиной $dx$ заметает диск радиуса $R(x)=y=x^2+5$ и площади $\pi R(x)^2$, поэтому

   $V=\pi\int_0^5 \left(x^2+5\right)^2 dx.$

3. 3

   Раскрываем квадрат до интегрирования. Обойтись здесь «цепным правилом наоборот» нельзя ($\int (x^2+5)^2dx \ne \tfrac{(x^2+5)^3}{3}$, потому что производная внутренней функции не постоянна), поэтому сначала перемножаем:

   $\left(x^2+5\right)^2=x^4+10x^2+25.$

4. 4

   Интегрируем почленно. Каждое слагаемое — простая степень:

   $V=\pi\int_0^5\left(x^4+10x^2+25\right)dx=\pi\left[\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}+25x\right]_0^5.$

5. 5

   Подставляем пределы. При $x=5$: $\tfrac{5^5}{5}=625$, $\tfrac{10\cdot 125}{3}=\tfrac{1250}{3}$ и $25\cdot 5=125$. Нижний предел даёт $0$. Складывая с общим знаменателем $3$:

   $625+125+\frac{1250}{3}=\frac{1875+375+1250}{3}=\frac{3500}{3}.$

6. 6

   Записываем объём. Итак,

   $V=\frac{3500\pi}{3}\approx 3665.19\text{ кубических единиц}.$

   Численное вычисление $\pi\int_0^5(x^2+5)^2dx$ даёт $3665.1914$, что подтверждает точное значение.