Вычислить двойной интеграл sin x − cos y по квадрату 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2π.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим подынтегральное выражение на два независимых слагаемых. Интегрирование линейно, а область — прямоугольник с постоянными пределами, поэтому

   $\iint(\sin x-\cos y)\,dA=\iint \sin x\,dA-\iint\cos y\,dA.$

   Каждое слагаемое зависит только от одной переменной, что позволяет представить их как произведения одномерных интегралов.

2. 2

   Вычислим первое слагаемое. Так как $\sin x$ не зависит от $y$, интегрирование по $y$ просто умножает на длину $2\pi$:

   $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx\,dy=2\pi\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=2\pi\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi(-1+1)=0.$

3. 3

   Вычислим второе слагаемое аналогично.

   $\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2\pi}\cos y\,dx\,dy=2\pi\int_{0}^{2\pi}\cos y\,dy=2\pi\bigl[\sin y\bigr]_{0}^{2\pi}=2\pi(0-0)=0.$

4. 4

   Объединяем результаты.

   $\iint_{[0,2\pi]^{2}}(\sin x-\cos y)\,dA=0-0=0.$

5. 5

   Поясним, почему это было неизбежно. Длина стороны $2\pi$ — это ровно один полный период как для $\sin$, так и для $\cos$, и любой синусоидальный интеграл по целому периоду равен нулю: положительная и отрицательная части компенсируют друг друга. Любой отрезок длиной $2\pi$ дал бы тот же результат; если бы пределы были от $0$ до $\pi$, слагаемое с синусом дало бы $2\pi\cdot 2=4\pi$.