Решить дифференциальное уравнение dx/dy = a · x^{2/3}, где a — константа.

Step-by-step solution

1. 1

   Разделим переменные. Разделим обе части на $x^{2/3}$ и умножим на $dy$, чтобы каждая переменная оказалась при своём дифференциале:

   $x^{-2/3}\,dx=a\,dy.$

   Следует заметить, что деление на $x^{2/3}$ допустимо только при $x\ne0$ — случай $x=0$ нужно рассмотреть отдельно, и здесь он действительно важен.

2. 2

   Проинтегрируем левую часть по формуле для степенной функции. При $n=-\tfrac23$ новый показатель будет $n+1=\tfrac13$:

   $\int x^{-2/3}\,dx=\frac{x^{1/3}}{1/3}=3x^{1/3}.$

   Деление на $\tfrac13$ эквивалентно умножению на $3$ — отсюда появляется множитель, который далее даст $\tfrac{a}{3}$.

3. 3

   Интегрируем правую часть и объединяем результаты. Так как $a$ — константа, $\int a\,dy=ay$, поэтому

   $3x^{1/3}=ay+C.$

   Для уравнения первого порядка достаточно одной произвольной константы.

4. 4

   Выразим $x$ явно. Делим обе части на $3$ и включаем константу в новое обозначение:

   $x^{1/3}=\frac{a}{3}y+C_{1}\;\Longrightarrow\;x=\left(\frac{a}{3}y+C_{1}\right)^{3}.$

   Возведение в куб не даёт неоднозначности по знаку, так как кубическая функция взаимно однозначна на вещественных числах — в отличие от квадрата (где появляется $\pm$).

5. 5

   Добавим особое решение и проверим его. Постоянная функция $x\equiv0$ также удовлетворяет уравнению ($\frac{dx}{dy}=0$ и $a\cdot0^{2/3}=0$), но не может быть получена из общего вида ни при каком конечном $C_{1}$, значит, это действительно особое решение. Это также классический пример неединственности: через точку $x=0$ проходят и $x\equiv0$, и $x=\left(\tfrac{a}{3}y\right)^{3}$, потому что $x^{2/3}$ не удовлетворяет условию Липшица при $0$. Проверка на числах при $a=1.7$, $C_{1}=0.4$ и $y=1.1$: $\frac{dx}{dy}=1.7802589$ и $ax^{2/3}=1.7802589$ ✓.