Найдите удобное приближение для ln(x/y) при x близком к y и укажите следующий поправочный член.

Step-by-step solution

1. 1

   Преобразуем дробь к виду с малым приращением. Пусть $x=y+\Delta$, где $\Delta=x-y$ мало по сравнению с $y$. Тогда

   $\frac{x}{y}=1+\frac{\Delta}{y},\qquad\text{поэтому}\qquad \ln\!\left(\frac{x}{y}\right)=\ln\!\left(1+u\right),\quad u=\frac{x-y}{y}.$

   Величина $u$ — это относительное изменение $x$ по сравнению с $y$. Перевод задачи к $u$ позволяет использовать разложение в ряд для одной переменной.

2. 2

   Раскроем логарифм в окрестности $u=0$. Формула Маклорена:

   $\ln(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}-\cdots,\qquad |u|<1.$

   Отсутствие свободного члена отражает, что $\ln1=0$, а коэффициент при $u$ равен $\frac{d}{du}\ln(1+u)$ при $u=0$.

3. 3

   Выпишем приближение первого порядка. Оставляя только главный член,

   $\boxed{\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{y}}$

   Это классический результат: разность логарифмов приближённо равна процентному изменению. Например, рост на $3\%$ даёт логарифмическое изменение примерно $0.03$.

4. 4

   Добавим квадратичную поправку. Учитывая ещё один член,

   $\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{y}-\frac12\left(\frac{x-y}{y}\right)^{2}.$

   Поправка всегда отрицательна при $x>y$, то есть приближение первого порядка систематически завышает логарифм роста — логарифмическая функция вогнута.

5. 5

   Укажем альтернативную точку разложения и оценим ошибку. Если разложить по $x$, получится $\ln\!\left(\frac{x}{y}\right)\approx\frac{x-y}{x}$, что занижает значение; оба односторонних приближения ограничивают истинное значение, а деление на среднее даёт более точный результат. Пример: при $x=10.3$, $y=10$ точное значение $0.0295588$, оценка первого порядка $0.03$ (ошибка $1.5\%$), второго порядка $0.029550$ (ошибка $0.03\%$) ✓.