Вычислить предел (x² − 16)/(x + 4) при x, стремящемся к −4.

Step-by-step solution

1. 1

   Подставим значение, чтобы определить вид предела. При $x=-4$:

   $\frac{(-4)^2-16}{-4+4}=\frac{0}{0}$

   Видно, что числитель и знаменатель обращаются в ноль при $x=-4$, то есть $(x+4)$ делит и числитель, и знаменатель. Следовательно, разрыв устранимый, а не бесконечный.

2. 2

   Разложим числитель по формуле разности квадратов. Так как $16=4^2$,

   $x^2-16=(x-4)(x+4)$

   Это стандартная формула $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, где $A=x$, $B=4$.

3. 3

   Сократим $(x+4)$. Для любого $x\ne -4$:

   $\frac{x^2-16}{x+4}=\frac{(x-4)(x+4)}{x+4}=x-4$

   Исходная функция совпадает с прямой $y=x-4$ всюду, кроме точки $x=-4$, где исходное выражение не определено. Однако предел не зависит от значения в одной точке.

4. 4

   Подставим в упрощённое выражение.

   $\lim_{x\to -4}(x-4)=-4-4=-8$

5. 5

   Опишем график функции. График исходного выражения — это прямая $y=x-4$ с «дыркой» в точке $(-4,-8)$. Предел равен $-8$ — это и есть высота этой «дырки», поэтому ответ конечен, несмотря на отсутствие значения функции в этой точке.