Функция стремится к a при x → +∞ и к −a при x → −∞. Сколько у неё горизонтальных асимптот?

Step-by-step solution

1. 1

   Вспомним определение: каждый «конец» графика рассматривается отдельно. Прямая $y=L$ — горизонтальная асимптота функции $f$, если $f(x)\to L$ при $x\to+\infty$ или при $x\to-\infty$. Эти два условия независимы, поэтому у одной функции может быть больше одной горизонтальной асимптоты (в отличие от вертикальных, число которых не ограничено совсем по другой причине).

2. 2

   Применим определение к каждому пределу. Предел $a$ при $+\infty$ делает прямую $y=a$ асимптотой, а предел $-a$ при $-\infty$ — прямую $y=-a$. Обе законны при условии, что $a$ — конечное число: бесконечный предел асимптоты не даёт вовсе, а говорит о неограниченном росте или о наклонной асимптоте.

3. 3

   Сосчитаем их, отдельно разобрав случай $a=0$. Если $a\neq0$, то $a$ и $-a$ — два разных числа, и горизонтальных асимптот две:

   $y=a\qquad\text{и}\qquad y=-a$

   Если же $a=0$, то $a=-a=0$, прямые совпадают, и асимптота одна — $y=0$.

4. 4

   Разберём конкретный пример. Возьмём

   $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

   При больших $|x|$ имеем $\sqrt{x^{2}+1}\approx|x|$, поэтому $f(x)\approx x/|x|$, то есть $+1$ при положительных $x$ и $-1$ при отрицательных. Численно $f(10^{8})=1$ и $f(-10^{8})=-1$ с точностью до $10^{-12}$ ✓, так что у этой функции две асимптоты, $y=1$ и $y=-1$, — это случай $a=1$.

5. 5

   Отметим предельно возможное число. Горизонтальных асимптот у функции не больше двух, по одной на каждое направление, ведь и при $x\to+\infty$, и при $x\to-\infty$ предел может быть только один. Классические примеры — $\arctan x$ (с $y=\pm\pi/2$) и $\tanh x$ (с $y=\pm1$), оба ровно вида $a$, $-a$.