Найти производную y = 5cos(3x²) по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Определим составную структуру функции. Данная функция — это косинус от выражения, отличного от $x$, поэтому требуется использовать правило цепочки. Раскладываем на слои: постоянный множитель $5$, внешняя функция $\cos(u)$ и внутренняя функция

   $u=3x^{2}$

   Если бы дифференцировали $\cos(3x^{2})$ как $\cos x$, получили бы только $-\sin(3x^{2})$ — именно эту ошибку и предотвращает правило цепочки.

2. 2

   Вынесем постоянный множитель за знак производной. Постоянный множитель при дифференцировании сохраняется:

   $\frac{dy}{dx}=5\cdot\frac{d}{dx}\left[\cos\!\left(3x^{2}\right)\right]$

3. 3

   Дифференцируем внешнюю функцию, не трогая внутреннюю. По формуле $\frac{d}{du}\cos u=-\sin u$ правило цепочки даёт

   $\frac{d}{dx}\cos u=-\sin(u)\cdot\frac{du}{dx}$

   Аргумент $\sin$ остаётся именно $3x^{2}$ — внутреннюю функцию внутри синуса не дифференцируем.

4. 4

   Дифференцируем внутреннюю функцию и перемножаем. По формуле производной степени получаем $\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(3x^{2}\right)=6x$, поэтому

   $\frac{dy}{dx}=5\cdot\left[-\sin\!\left(3x^{2}\right)\right]\cdot6x=-30x\sin\!\left(3x^{2}\right)$

   Три числовых множителя $5$, $-1$ и $6$ объединяются в коэффициент $-30$.

5. 5

   Проверим численно и структурно. Центральная разность $\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}$ при $h=10^{-6}$ совпадает с $-30x\sin(3x^{2})$ при $x=0{,}4$, $1{,}1$ и $2{,}0$ с точностью до $10^{-5}$ ✓. Структурная проверка также проходит: при $x=0$ производная равна $0$, что верно, так как $y=5\cos(3x^{2})$ имеет максимум в этой точке.