Решите линейную систему дифференциальных уравнений x' = x − 2y, y' = 2x + y.

Step-by-step solution

1. 1

   Записываем систему как одно матричное уравнение. Положив $\mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, получаем $\mathbf{X}' = A\mathbf{X}$, где

   $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$

   Это важно, потому что дальше всё решение определяется собственными значениями матрицы $A$ — ни подстановка, ни исключение переменной не понадобятся.

2. 2

   Находим собственные значения. Характеристическое уравнение имеет вид

   $\det(A - \lambda I) = (1-\lambda)^2 + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (1-\lambda)^2 = -4$

   откуда $\lambda = 1 \pm 2i$. Комплексная пара $\alpha \pm \beta i$ всегда даёт $e^{\alpha t}$, умноженное на синусы и косинусы от $\beta t$: скорость роста $\alpha = 1$, скорость вращения $\beta = 2$.

3. 3

   Находим один собственный вектор. При $\lambda = 1 + 2i$ первая строка матрицы $A - \lambda I$ даёт $-2i\,v_1 - 2v_2 = 0$, откуда $v_2 = -i\,v_1$ и

   $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -i \end{pmatrix}$

   Нужен лишь один собственный вектор: сопряжённый к нему новой информации не несёт.

4. 4

   Разделяем комплексное решение на вещественную и мнимую части. Пользуясь формулой $e^{(1+2i)t} = e^{t}(\cos 2t + i\sin 2t)$,

   $e^{(1+2i)t}\mathbf{v} = e^{t}\begin{pmatrix} \cos 2t + i\sin 2t \\ \sin 2t - i\cos 2t \end{pmatrix}$

   Его вещественная часть $e^t(\cos 2t,\ \sin 2t)$ и мнимая часть $e^t(\sin 2t,\ -\cos 2t)$ — это два независимых вещественных решения.

5. 5

   Складываем их в общее решение.

   $x(t) = e^{t}\left(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t\right), \qquad y(t) = e^{t}\left(C_1\sin 2t - C_2\cos 2t\right)$

6. 6

   Проверяем подстановкой. Дифференцирование $x$ даёт $e^t(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t) + e^t(-2C_1\sin 2t + 2C_2\cos 2t)$, а $x - 2y = e^t(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t) - 2e^t(C_1\sin 2t - C_2\cos 2t)$ — то же самое выражение. Второе уравнение проверяется точно так же. Поскольку $\alpha = 1 > 0$, каждая траектория раскручивается спиралью от начала координат.