Вычислите интеграл e^{-x²} по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Пробуем стандартную замену и видим, что она не работает. Пусть $u=-x^{2}$, тогда $du=-2x\,dx$, однако в подынтегральном выражении отсутствует множитель $x$, который можно было бы выразить через $du$. Поэтому завершить замену переменной невозможно. Интегрирование по частям также приводит к циклическому процессу без упрощения. Это не недостаток метода — причина в структуре самого выражения.

2. 2

   Знаем теоретический факт. Согласно теореме Лиувилля о интегрировании в элементарных функциях, у $e^{-x^{2}}$ нет элементарной первообразной — её нельзя выразить через многочлены, корни, экспоненты, логарифмы и тригонометрические функции за конечное число действий. Для сравнения: $\int xe^{-x^{2}}dx=-\tfrac12e^{-x^{2}}+C$ выражается элементарно именно потому, что дополнительный множитель $x$ позволяет провести замену.

3. 3

   Вводим функцию ошибок как определение. Математики обозначают недостающую первообразную так:

   $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$

   Коэффициент $\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}$ выбран так, чтобы $\operatorname{erf}(\infty)=1$, что делает функцию ошибок удобной в теории вероятностей.

4. 4

   Используем определение для ответа на вопрос. Продефференцируем определение: $\operatorname{erf}'(x)=\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}$, поэтому умножение на $\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ убирает нормировочный множитель:

   $\int e^{-x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)+C$

5. 5

   Сравниваем с определённым интегралом по всей прямой. Хотя элементарной первообразной не существует, определённый интеграл вычисляется точно:

   $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}$

   Этот результат получают возведением в квадрат и переходом к полярным координатам. Наличие точного значения определённого интеграла не противоречит отсутствию элементарной неопределённой первообразной.