Найти степенной ряд для ln((1+x)/(1−x)).

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала разложим логарифм частного. Вместо того чтобы раскладывать всю дробь сразу, воспользуемся формулой $\ln(A/B)=\ln A-\ln B$: $\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\ln(1+x)-\ln(1-x).$ Именно этот приём делает задачу простой, так как оба слагаемых имеют стандартные ряды Маклорена.

2. 2

   Запишем стандартные ряды для двух логарифмов. При $|x|<1$ выполняется $\ln(1+x)=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n},$ а если заменить $x$ на $-x$, получаем $\ln(1-x)=-x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-\cdots=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.$

3. 3

   Вычтем ряды и увидим, как исчезают чётные степени. По членам: слагаемые при $x^{2}$ — $-\tfrac12 x^{2}$ и $-\tfrac12 x^{2}$ — при вычитании взаимно уничтожаются; слагаемые при $x^{3}$ — $+\tfrac13 x^{3}$ и $-\tfrac13 x^{3}$ — складываются. В общем случае выживают только нечётные степени, причём каждая удваивается: $\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)=2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\cdots\right)=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.$ Только нечётные степени — это следствие нечётности функции: если заменить $x$ на $-x$, аргумент дроби инвертируется, а знак логарифма меняется на противоположный.

4. 4

   Запишем полезные укороченные разложения. Если обрывать ряд, получаются практические приближения: $\ln\!\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\approx 2x,\qquad \approx 2x+\frac{2x^{3}}{3},\qquad \approx 2x+\frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}.$ Первое из них — это линейное (касательное) приближение в точке $x=0$.

5. 5

   Укажем область применимости и проверим на примере. Оба исходных ряда требуют $|x|<1$, и сама дробь положительна только при этом условии, значит, разложение справедливо для $|x|<1$. Проверим при $x=0{,}2$: точное значение $\ln(1.2/0.8)=\ln 1.5=0.405465108$, а $2x+\tfrac23 x^{3}+\tfrac25 x^{5}=0.4+0.005333333+0.000128=0.405461333$ — совпадение до пятого знака, а следующий член $\tfrac27 x^{7}=3.66\times10^{-6}$ объясняет малую разницу.

6. 6

   Поясним, почему эта форма удобна для вычисления логарифмов. Любое положительное $r$ можно записать как $(1+x)/(1-x)$, где $x=(r-1)/(r+1)$, причём $x$ остаётся малым даже при больших $r$. Благодаря тому, что в ряду только нечётные степени и он сходится вдвое быстрее, чем обычный ряд для $\ln(1+x)$, эта формула — классический способ вычислять логарифмы с высокой точностью вручную.