Функция f дважды дифференцируема и f''(x) = 6x - 12. Если у f критическая точка при x = 1, что обязательно верно для f в x = 1?

Step-by-step solution

1. 1

   Переведём условие «критическая точка» в уравнение. Для дифференцируемой функции критическая точка — это место, где производная обращается в ноль. Так как $f$ дважды дифференцируема, изломов и вертикальных касательных быть не может, значит

   $f'(1)=0$

   Это единственное, что даёт нам формулировка задачи.

2. 2

   Подставим $x=1$ во вторую производную. Формула $f''$ уже дана, поэтому дифференцировать не требуется:

   $f''(1)=6(1)-12=6-12=-6$

3. 3

   Интерпретируем знак $f''(1)$ как вогнутость. Отрицательная вторая производная означает, что наклон убывает, то есть график в окрестности $x=1$ вогнут вниз. Поскольку $f''(1)=-6<0$, кривая действительно вогнута вниз при $x=1$.

4. 4

   Применим признак второго производного. Этот признак утверждает: если $f'(c)=0$ и $f''(c)>0$, то точка — локальный минимум; если $f'(c)=0$ и $f''(c)<0$, то локальный максимум; если $f''(c)=0$, признак не даёт ответа. В нашем случае выполнены оба условия второго случая:

   $f'(1)=0\quad\text{и}\quad f''(1)=-6<0$

5. 5

   Делаем вывод и отмечаем, что не определено. У функции $f$ — локальный максимум при $x=1$. Однако сама функция определена с точностью до двух констант: дважды проинтегрировав, получаем $f(x)=x^{3}-6x^{2}+C_1x+C_2$, а условие $f'(1)=0$ даёт $C_1=9$, но $C_2$ остаётся произвольной. Значение $f(1)$ неизвестно; однозначно определяется только тип точки.