Решите дифференциальное уравнение y'' + 4y = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Пробуем решение в виде экспоненты. Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами подстановка $y=e^{rx}$ всегда сводит его к алгебраическому:

   $y=e^{rx}\Rightarrow y''=r^2e^{rx}$

2. 2

   Составляем характеристическое уравнение. Подставляем и выносим за скобку $e^{rx}$, который нигде не обращается в нуль:

   $r^2e^{rx}+4e^{rx}=e^{rx}\left(r^2+4\right)=0\quad\Longrightarrow\quad r^2+4=0$

3. 3

   Находим $r$.

   $r^2=-4\quad\Longrightarrow\quad r=\pm 2i$

   Чисто мнимые корни означают чистые колебания без роста и без затухания.

4. 4

   Переходим от комплексных экспонент к вещественной форме. Для корней $r=\alpha\pm\beta i$ вещественное общее решение имеет вид $e^{\alpha x}\left(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x\right)$. Здесь $\alpha=0$ и $\beta=2$, поэтому экспоненциальная огибающая равна $e^{0}=1$:

   $y(x)=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$

5. 5

   Проверяем прямой подстановкой. При $y=\cos 2x$: $y''=-4\cos 2x$, так что $y''+4y=0$ $\checkmark$. При $y=\sin 2x$: $y''=-4\sin 2x$, снова $0$ $\checkmark$. Уравнение линейно, поэтому подходит и любая комбинация этих двух функций. Физически это гармонические колебания с круговой частотой $\omega=2$ и периодом $\pi$.