Решить дифференциальное уравнение dy/dx = 2y − x.

Step-by-step solution

1. 1

   Приводим уравнение к стандартному линейному виду. Переносим слагаемое с $y$ влево, чтобы получилось $y'+P(x)y=Q(x)$:

   $\frac{dy}{dx}-2y=-x,\qquad P(x)=-2,\quad Q(x)=-x$

2. 2

   Строим интегрирующий множитель.

   $\mu(x)=e^{\int P\,dx}=e^{\int-2\,dx}=e^{-2x}$

   Его назначение — превратить левую часть в одну производную, и именно это сводит дифференциальное уравнение к обычному интегрированию.

3. 3

   Умножаем уравнение на множитель и узнаём производную произведения.

   $e^{-2x}\frac{dy}{dx}-2e^{-2x}y=-xe^{-2x}\quad\Longrightarrow\quad\frac{d}{dx}\left(ye^{-2x}\right)=-xe^{-2x}$

4. 4

   Интегрируем правую часть по частям. Берём $u=x$, $dv=-e^{-2x}dx$, тогда $du=dx$ и $v=\tfrac12 e^{-2x}$:

   $\int -xe^{-2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{-2x}-\int\frac{1}{2}e^{-2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{-2x}+\frac{1}{4}e^{-2x}+C$

5. 5

   Выражаем $y$ и проверяем. Умножаем обе части на $e^{2x}$:

   $y=Ce^{2x}+\frac{x}{2}+\frac{1}{4}$

   Проверка: $y'=2Ce^{2x}+\tfrac12$, а $2y-x=2Ce^{2x}+x+\tfrac12-x=2Ce^{2x}+\tfrac12$ $\checkmark$. Равенство выполняется при любом $C$, причём $\tfrac{x}{2}+\tfrac14$ — частное решение, а $Ce^{2x}$ — решение однородного уравнения.