Вычислить несобственный интеграл 1/(x + √(x² – 1))² по x от 1 до бесконечности и объяснить, почему нельзя брать нижний предел 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Сначала уточним область определения. При $0\le x<1$ подкоренное выражение $x^2-1$ отрицательно, поэтому $\sqrt{x^2-1}$ не является действительным числом, и подынтегральная функция там не определена. Наибольший промежуток, где этот интеграл определён в действительных числах, начинается с $x=1$ — запись нижнего предела $0$ является ошибкой постановки задачи, а не вопросом сходимости.

2. 2

   Выберем подстановку, линейризующую радикал. Для $x\ge 1$ положим

   $x=\cosh t,\qquad t\ge 0$

   Тогда $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\cosh^2t-1}=\sinh t$ (неотрицательно при $t\ge0$), а $dx=\sinh t\,dt$.

3. 3

   Упростим скобку — именно поэтому выбирается cosh.

   $x+\sqrt{x^2-1}=\cosh t+\sinh t=e^{t}$

   Значит, квадрат скобки — это просто $e^{2t}$. Пределы переходят так: $x=1\Rightarrow t=0$, $x\to\infty\Rightarrow t\to\infty$.

4. 4

   Перепишем интеграл.

   $\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)^{2}}=\int_{0}^{\infty}\frac{\sinh t}{e^{2t}}\,dt=\int_0^\infty e^{-2t}\sinh t\,dt$

5. 5

   Раскроем гиперболический синус через экспоненты. Так как $\sinh t=\tfrac{e^t-e^{-t}}{2}$,

   $e^{-2t}\sinh t=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2}$

   Это разность двух убывающих экспонент — обе интегрируемы на $[0,\infty)$.

6. 6

   Выполним интегрирование и подставим пределы. Поскольку $\int_0^\infty e^{-kt}dt=\tfrac1k$,

   $\frac12\left(\int_0^\infty e^{-t}dt-\int_0^\infty e^{-3t}dt\right)=\frac12\left(1-\frac13\right)=\frac12\cdot\frac23=\frac13$

   Численное интегрирование $\int_0^{40}e^{-2t}\sinh t\,dt$ даёт $0.3333333333$, что подтверждает точное значение $\tfrac13$.