Найти производную ln(x + √(x² − a²)) по x.

Step-by-step solution

1. 1

   Запишем цепное правило для логарифма. Пусть $u = x + \sqrt{x^2 - a^2}$, тогда $y = \ln u$, а значит, $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{u'}{u}$. Теперь задача сводится к нахождению $u'$ и проверке, есть ли общий множитель с $u$ — для этой комбинации он действительно есть.

2. 2

   Дифференцируем корень. По цепному правилу,

   $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 - a^2} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

   значит, $u' = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$.

3. 3

   Приведём числитель к общему знаменателю.

   $u' = \frac{\sqrt{x^2 - a^2} + x}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

   Числитель теперь буквально совпадает с $u$ — именно это совпадение делает ответ таким простым.

4. 4

   Делим и сокращаем.

   $\frac{dy}{dx} = \frac{u'}{u} = \frac{x + \sqrt{x^2 - a^2}}{\sqrt{x^2 - a^2}} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - a^2}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

5. 5

   Уточним функцию и область определения. Так как $\operatorname{arcosh}(x/a) = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 - a^2}\right) - \ln a$, выражение совпадает с обратным гиперболическим косинусом с точностью до константы, поэтому его производная совпадает с $\frac{d}{dx}\operatorname{arcosh}(x/a)$. Формула корректна при $x > |a|$, чтобы подкоренное выражение было положительным. Для сравнения: $\ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right)$ определён при всех $x$ и его производная — $1/\sqrt{x^2 + a^2}$ (случай арсинуса гиперболического).

6. 6

   Проверим численно. Возьмём $a = 2$, $x = 3$. Центральная разность с шагом $10^{-6}$ даёт $0.4472136$, а $1/\sqrt{9-4} = 1/\sqrt5 = 0.4472136$. Совпадает до седьмого знака.